Qui a inventé le raisonnement par récurrence?
Euclide
Le précurseur : Euclide On fait souvent remonter la récurrence à Euclide, ce qui est à la fois vrai et faux. L’exemple habituellement donné est la proposition 20 du livre IX des Éléments (composés vers l’an 300 avant notre ère), où est prouvée l’existence d’une quantité arbitrairement grande de nombres premiers.
Comment est apparu le raisonnement par récurrence?
On trouve dans le Traité du triangle arithmétique de Blaise Pascal, écrit en 1654 mais publié en 1665, ce qui est généralement considéré comme la première utilisation tout à fait explicite du raisonnement par récurrence.
Quels sont les grandes étapes historiques du raisonnement par récurrence?
Au cours du XVIIIe et du XIXe siècle, le raisonnement par récurrence est de plus en plus utilisé pour aboutir finalement à sa formalisation et à son axiomatisation, d’abord partiellement par Grassmann en 1861, puis par Richard Dedekind en 1888 et indépendamment par Giuseppe Peano. en 1889.
Quand Peut-on utiliser un raisonnement par récurrence?
En effet, quand on ne connaît pas le terme général d’une suite, il est impossible de montrer directement des propriétés. Par contre, on peut le faire grâce au raisonnement par récurrence, qui comme son nom l’indique, va faire intervenir la formule de récurrence de la suite.
Comment résoudre par récurrence?
Par hypothèse de récurrence, il existe un entier naturel k tel que 22n + 2 = 3. k. Mais alors, 22(n+1) + 2 = 22n + 2 + 3 × 22n = 3k + 3 × 22n = 3(22n + k). Comme 22n + k est un entier, on en déduit que 22(n+1) + 2 est un entier divisible par 3.
Comment faire une récurrence forte?
Pour démontrer par récurrence forte qu’une propriété H(n) est vraie pour tout n ≥ N, il faut : Énoncer clairement la propriété H(n), pour tout n ≥ N. Faire l’initialisation au rang N : on démontre H(N). Démontrer l’hérédité avec une hypothèse de récurrence forte.
Quelle est l’importance de l’initialisation?
L’importance de l’initialisation Il arrive que des propriétés soient héréditaires sans pour autant qu’elles soient vraies. C’est notamment le cas de la propriété suivante: Pour tout entier naturel n, 10n+1 est divisible par 9. Propriété fausse.
Comment montrer qu’une proposition est vraie?
Pour démontrer qu’une proposition P est vraie, on peut utiliser un raisonnement par l’absurde. Pour cela, on suppose que P est fausse et on démontre que l’on aboutit alors `a une contradiction. Exemple : montrer qu’il n’existe pas d’entier naturel supérieur `a tous les autres.
Comment réussir une récurrence?